Mikhail

[Recent Entries][Archive][Friends][User Info]

Below are the 20 most recent journal entries recorded in the "Mikhail" journal:

July 9th, 2009
08:56 pm [Link]	О численном эксперименте Я с интересом и с уважением отношусь к численному моделированию, из результатов которого делается вывод НЕ в терминах самого моделирования. Например, на временах когеренции влияние ван-дер-ваальсова взаимодействия незначительно и, следовательно, взаимодействие можно считать контактным. Потому что это говорит что-то о самой системе, потом в другом месте можно будет сказать, что в первом приближении мы пренебрежем кулоновским взаимодействием, что справедливо на коротких временах, и рассмотрим главный эффект за счет контактного взаимодействия. Вроде бы банальность, но почему же, черт побери, в качестве теоретического вывода постоянно представляется, что-то вроде "левый резонанс выше правого", "вот здесь 48,06, а вот здесь 44,35"? Кроме как "угу, сам вижу" ничего на это не скажешь. Tags: кухня, наука (Leave a comment)
July 7th, 2009
03:29 pm [Link]	Перепутанность квантовых полей. VI. Бозоны. 2 Интригу напомнили в предыдущей части. Рассмотрим многомодовое бозонное поле, возбуждаемое внешним источником (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование) $H = \omega_\kappa a^\dagger_\kappa a_\kappa + e_\kappa a^\dagger_\kappa + e_\kappa^* a_\kappa ,$ где $\kappa$ нумерует моды поля, $\omega_\kappa$ – энергия моды, а $e_\kappa$ – соответствующая проекция источника. В линейной оптике, например, она была бы пропорциональна конволюции пространственных распределений фотонной моды и полязризации. Записывая гамильтониан, мы предположили, что амплитуда возбуждения от времени не зависит, но это непринципиально. Поставим задачу таким образом. Пусть изначально система находится в вакуумном состоянии, т.е. никаких бозонов нет. Затем мы включаем внешний источник. Пока он работает постоянно идет процесс рождения и уничтожения частиц. Спустя время $\tau$ выключаем источник (амплитуда возбуждения мгновенно обращается в 0), и картина, в каком-то смысле, замораживатся. Вопрос, в каком состоянии будет бозонное поле? К задаче можно подойти разными способами. Выберу несколько техничный в деталях, но зато дающий ясную идеологию. Введем оператор сдвига (см., например, Глаубер Оптическая когерентность и статистика фотонов Лекции 9-11 ) $D(\xi) = \exp(\xi_\kappa^* a_\kappa - \xi_\kappa a_\kappa^\dagger)$ Он называется оператором сдвига потому что для любого $\lambda$ $D(\xi) a_\lambda = \left(a_\lambda + \xi_\lambda \right) D(\xi)$ и такое же соотношение справедливо для $a^\dagger_\lambda$ . Видно, что, выбирая $\xi_\kappa = e_\kappa/\omega_\kappa$ , можно добиться (с точностью до неважной константы) $D(\xi) H = H_0 D(\xi)$ где $H_0$ – гамильтониан свободного бозонного поля, т.е. без источника. Таким образом собственные состояния системы с источником получаются из собственных состояний свободного поля простым действием оператора сдвига. Состояние поля после выключения возбуждения представляется суперпозицией состояний свободного поля $\|\Psi\rangle = \sum_l U_l(\tau) e^{-i \omega_l (t-\tau)}\|l\rangle,$ где $l$ пробегает по всем состояниям, нумеруемым, например, с помощью чисел заполнения мод. Некоторые вычисления (на уровне бинома Ньютона, без шуток) требуются, чтобы показать, что амплитуды попадания в те или иные состояния свободного поля даются с точностью до общего фазового множителя матричными элементами оператора сдвига $U_l(\tau) = \langle l \| D(\gamma)\|0\rangle ,$ где $\gamma_\kappa = e_\kappa/\omega_\kappa [1 - \exp(-i\omega_\kappa t)]$ . Имея на руках этот результат, можно повычислять много любопытных вещей. Например, оказывается, вероятность того, что в конечном состоянии будет только две частицы, ограничена сверху и снизу (если энергии мод несоизмеримы она в 0 не обращается). Если есть всего лишь две моды, то вероятность иметь только две частицы меньше $6/e^2$ . Собственно для ответа на вопросы о структуре состояний и удобно использовать оператор сдвига, но при этом при деле оказывается предположение о постоянстве амплитуды возбуждения. Можно и без него обойтись, но рассуждения удлиняются. Если бы были нужны только корреляционные функции, то проще воспользоваться уравнениями движения. Корреляционные функции вычисляются просто. Так, например, одночастичная функция $\langle a^\dagger_\kappa a_\lambda \rangle = \langle 0\| D^\dagger (\gamma) a^\dagger_\kappa a_\lambda D(\gamma) \rangle = \gamma^*_\kappa \gamma_\lambda$ Получили матрицу ранга 1 и, следовательно, чистое состояние. Легко построить оператор, чье среднее значение оно максимизирует – проектoр на направление, задаваемое вектором $\gamma$ . Итак, представление о чистых состояниях оказывается не таким уж и посторонним для квантовых полей. Здесь получается целая россыпь любопытных мелочей. Прежде всего, частицы, порождаемые внешним источником, оказываются неперепутанными. Этот вывод может показаться тривиальным, дескать, откуда этому перепутыванию взяться, но мне здесь видится что-то большее, чем просто мелочь. Никакое состояние, соответствующее фиксированному числу частиц не является собственным состоянием гамильтониана с возбуждением. Т.е. состояние “бозон в такой-то моде” не является стационарным – в системе есть взаимодействие. Отсутствие перепутывания, точнее его непоявление, связано с тем, что взаимодействие ведет к такой динамике многочастичных состояний, которое представляется в виде прямого произведения (это можно отследить, размышляя над тем фактом, что оператор сдвига осуществляет взаимнооднозначное отображение между состояниями свободного поля и поля с источником). Для перепутывания недостаточно просто “взаимодействия”. Поэтому неудивительным является результат о том, что многочастичные корреляционные функции тоже представляются тензорными произведениями. Итак, состояния, у которых корреляционная функция имеет ранг выше 1, оказываются темными (прощай перепутывание в линейной оптике). И таких состояний, при числе мод больше 3, большинство. Здесь есть над чем подумать. (Leave a comment)
July 6th, 2009
07:26 pm [Link]	Перепутанность квантовых полей. V. Бозоны. 1 Речь пойдет об одном забавном наблюдении. Скорее всего это было сделано несколько десятилетий назад, но рыскать в поисках мне не хочется. Чтобы не было существенного логического разрыва с предыдущим, набросаю интригу. Исходная проблема заключается в том, чтобы понять перепутанность квантовых полей (и, в частности, тождественных частиц). Есть такой подход, в котором почти по определению симметризованные состояния бозонов являются неперепутанным состоянием. Такой подход мне не нравится, а рассмотрения не убеждают. Главным образом неубежденность появляется из-за того, что предлагаемые примеры кажутся искусственными. Цель разбирательства, в частности, и заключалась в том, чтобы либо получить естественным образом новую формулировку перепутывания тождественных частиц, либо придти к явному противоречию с ней. По-видимому, продолжение предыдущего рассмотрения будет дожидаться приезда в Париж, а сейчас ограничусь только одним контраргументом. Рассмотрим симметризованное состояние двух бозонов, каждый из которых может находиться в состояниях, которые мы перенумеруем $+$ и $-$ , $\|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (\|+-\rangle + \|-+\rangle) . \qquad ()$ В канонической квантовомеханической трактовке это типичный пример перепутанного состояния. Есть ли какие-нибудь основания считать, что то же справедливо и для тождественных частиц? Для этого вкратце набросаем соответствующую качественную теорию для квантовых полей. Характерной особенностью перепутанности является нафакторизуемость состояния, так что одночастичные состояния оказываются смесями (т.е. матрицы плотности имеют ранг больше единицы). С перспективы общих состояний, т.е. включая смеси, чистые состояния выделяются тем, что на них достигаются максимальные и минимальные значения средних значений операторов $\langle \mathcal{P} \rangle \equiv \langle \psi \| \mathcal{P} \| \psi \rangle$ . Вот этим обстоятельством мы и воспользуемся. Соответствующим аналогом для квантового поля будет рассмотрение среднего значения одночастичных операторов, которые обычным образом представляются через операторы рождения и уничтожения $\mathcal{P} = \sum_{\kappa, \lambda} P_{\kappa, \lambda} a^\dagger_\kappa a_\lambda,$ где $\kappa$ и $\lambda$ пробегают по каким-то наборам квантовых чисел, например, для вышеприведенного примера $\kappa, \lambda = \lbrace +, - \rbrace$ . Теперь введем стандартным образом одночастичную корреляционную функцию* $\left(\widehat{\rho}\right)_{\kappa, \lambda} = \rho_{\kappa, \lambda} = \langle a^\dagger_\kappa a_\lambda \rangle$ так что $\langle \mathcal{P} \rangle = \mathrm{Tr}[\widehat{\rho} \widehat{P}]$ , где матричные элементы $\widehat{P}$ определяются коэффициентами $P_{\kappa, \lambda}$ из написанного выше представления. Отсюда, в частности, получается результат аналогичный тому, что имелся для канонической задачи – максимальные и минимальные значения $\langle \mathcal{P} \rangle$ достигаются (при фиксированном числе частиц, т.е. $\mathrm{Tr}[\widehat{\rho}]$ ) на таких состояниях, для которых $\mathrm{rank}\left(\widehat{\rho}\right) = 1$ . Такие состояния будем, ничтоже сумняшеся, называть чистыми (одночастичными) состояниями. Теперь обратимся к (). В терминах операторов рождения это состояние представляется как $\| \psi \rangle = a_-^\dagger a_+^\dagger \|0\rangle,$ что, как можно проверить, дает одночастичную корреляционную функцию в виде единичной матрицы. Для нее среднее значение любого оператора просто равно его следу. Однако, для любого* одночастичного оператора найдется такое двухчастичное состояние, в котором среднее значение будет больше следа. Пполучается, что симметризованное двухбозонное состояние не доставляет максимальное среднее значение (которое, вроде, должно быть $4 \mathrm{Tr}[\widehat{P}]$ ) никакого одночастичного оператора. Сравивая этот вывод с тем, что в канонической картине характерным свойством чистых состояний является как раз то, что они максимизируют средние значения некоторых операторов, получаем, что представление о () как о неперепутанном состоянии несвободно от противоречий. Отсюда есть два выхода. Первый – какую-то часть свойств перепутанных состояний, которые естественным образом появляются в квантовомеханическом описании надо считать случайными, второй – посчитать, что () – перепутанно. Есть еще, конечно, вариант, что верно и одно и другое. Когда интрига набросана, можно переходить к наблюдению. Поправка. Максимальное среднее значение Tr[\rho] Tr[P]. Нормируем корреляционную функцию на ее след. Далее введем спектральное представление P = p_k \Pi_k, где \Pi_k - соответствующие проекторы. Тогда <P> = p_k Tr[\rho] Tr[\tilde{\rho} \Pi_k] = Tr[\rho] p_k \tilde{\rho}_{kk} \leq Tr[\rho] \sum_k p_k = Tr[\rho] Tr[P] Update. Фу, какую ерунду я тут написал. То, что среднее значение не может превышать следа - тривиально и неинтересно. Для оператора общего вида среднее значение ни на каких состояниях этого не достигает. Достижимое максимальное среднее Tr[\rho] p_{max}, где p_{max} - максимальное собственное значение \widehat{P} Доставляют его, очевидно, состояния, соответствующие этому собственному значению. (2 comments \| Leave a comment)
July 5th, 2009
01:57 am [Link]	Высшая несправедливость Заключается она в том, что так называемые "невезунчики" не имеют никакого права так себя называть, поскольку запросто сталкиваются с редкими событиями. Например, сейчас я 10 раз подряд неправильно угадал направление акцента (aigu vs grave). После того как я догадался выбирать другое направление нежели то, которое подсказывает интуиция, не угадал еще два раза. Может быть продолжил бы серию неугадываний и дальше, но упражнения кончились. Update. Уже 11. Update. 13 Update. 17 и здесь на телевизоре серия кончилась! Вероятность за вечер 17 раз не угадать примерно 1/130 000. Теперь понятно почему в лотерею не везет. При таком настойчивом выпадении редких событий вероятность не выиграть в лотерею оказывается очень малой и поэтому на тебе. Гы. (9 comments \| Leave a comment)
June 26th, 2009
04:57 pm [Link]	За что я не люблю Математику На эту тему я мог бы соловьем заливаться, но сдерживался. Сегодня, однако, они себя переплюнули SetDirectory["a\b\c"] не работает (возможно из-за того, что b содержит пробел, не проверял) а комбинация SetDirectory["a"] SetDirectory["b"] SetDirectory["c"] работает Tags: кухня (2 comments \| Leave a comment)
03:06 am [Link]	Кошмар естественных языков Télévision - женского рода Téléphone - мужского Найти бы того, кто это придумал и на галеры. (10 comments \| Leave a comment)
June 24th, 2009
03:40 pm [Link]	танцует вальс Ван-дер-Ваальс Застрял на учебной задачке - найти асимптотику спадания энергии взаимодействия двух водородоподобных атомов в 1s состоянии. Упорно получается пятая степень. Уже готов убить кого-нибудь. (3 comments \| Leave a comment)
June 23rd, 2009
06:09 pm [Link]	Старею В какой-то момент мне стало хотеться, чтобы никто не говорил "зато это была замечательная физика". Очень популярны абстрактные мотивы - допустимо ли ударить ребенка, если две недели на необитаемом острове из них одну крошки во рту не было, да еще грозятся целый помет русской голубой утопить? А каково, например, сидеть за арифмометром, складывать и умножать бессмысленные числа, получаемые по цепочке, передавать результаты куда-то дальше за спину другому такому же как ты, но в общем-то жаловаться не на что, жизнь как жизнь - по субботам в кино, по утрам одеколон шлепками на щеки - а потом, херакс, и сто тысяч человек в одночасье плодами рук твоих? (4 comments \| Leave a comment)
June 21st, 2009
08:46 pm [Link]	Параллельные реальности... В тексте 2004 года люди пишут It was not until the 1980’s [74] before it was established that spontaneous emission is not an intrinsic property of matter over which we have no control on [75] but a process greatly dependent on the nature of the surrounding environment. В стандартных изложениях радиационного распада (ключевые слова в частности Weisskopf-Wigner approximation, Wigner distribution), которые не менялись уже лет 70, существеннейшим элементом является то, что излучающая система взаимодействует с электромагнитным полем в вакууме. Вопрос о том, что изменится, если иметь дело не с вакуумом, должен был возникать у любого человека, который слушал такое изложение. Ладно с ними с фотонными кристаллами, как насчет излучающего атома, расположенного рядом с шариком (металлическим или диэлектрическим), чья характерная частота (например, Ми резонанса) близка к частоте перехода? От силы можно было бы говорить, что на данном этапе развития экспериментальных техник тяжело управляемым образом влиять на распад, но вовсе не то, что им нельзя управлять вообще, что это внутреннее свойство. Не верю, что это не приходило в голову до работы Клеппнера. Не верю хотя бы потому, что в короткой заметке Перселла, опубликованной в разделе Minor contributions среди прочих заметок американского физического общества (эту работу даже нельзя найти поисковой системой APS'овских журналов), о нарушении в полости вакуумной плотности состояний и соответствующем влиянии на времена распада говорится как о чем-то самоочевидном. Итак, в одном месте в погоне за математической строгостью люди отправляются на поиски струн, в другом - только начинают сомневаться в общности выводов, которые заведомо получены для весьма специфической ситуации. Мир богат... (11 comments \| Leave a comment)
June 7th, 2009
01:49 pm [Link]	Узусы, нормы Обычно по умолчанию предполагается, что просторечье упрощено по сравнению с литературным языком. Знакомству с французскими местоимениями sa, son и т.п. существенно помогает знание более богатого грамматически просторечья (также пример нормы в том, что чуть ли не по определению считается ненормируемым) я (je) моя (ma) мой (mon) мое мои (mes) ты (tu) твоя (ta) твой (ton) твое твои (tes) вы (vous) ваша (votre) ваш (votre) ваше ваши (vos) он (il) его (son, sa, ses) евойный (son) евойная (sa) евойное евойные (ses) она (elle) её (son, sa, ses) еёйная еёйный еёйное еёйные оно его они (ils, elles) их ихняя (leur) ихний (leur) ихнее ихние (leurs) (2 comments \| Leave a comment)
June 5th, 2009
04:26 pm [Link]	Домой! (Leave a comment)
June 1st, 2009
08:18 pm [Link]	О раздражающих оговорках Вчера в разгоряченной и бестолковой беседе с Женгом всей своей массой упирал на сохранение заряда в полупроводниковых зонах (в свободной динамике). При этом был вынужден делать оговорки, что, вообще говоря, есть канал для несохранения, но он неважен для тех ситуаций, которые подразумеваются. Каждый раз при этом чувствовал неловкость и раздражение. Для разговора, понятно, было бы важно говорить о сохранении заряда в зонах как о фундаментальном законе природы. Сегодня мы оба присутствовали на докладе, где важным компонентом была как раз ударная ионизация (impact ionization). Ну, думаю, хорошо бы я выглядел, если бы не оговаривался - все вчерашнее полетело бы в тартарары. С другой же стороны, мои оговорки скорее всего пролетали мимо ушей, как это часто с оговорками и происходит, так что и так все полетело. А может Ж. и не связал ударную ионизацию со вчерашними разговорами. Тогда я, в самом деле, вчера опростоволосился. Проблемы, проблемы. (Leave a comment)
May 30th, 2009
09:38 am [Link]	The endless river Forever and ever Без нескольких месяцев 9 лет назад я, руки в карманы, пробирался в кроссовках и куртке с давным давно поломанной молнией через сугробы. Поминутно оскальзывался, но, покрепче схватив зубами сигарету, выравнивался. На перекрестке под одиноким оранжевым фонарем, из которого валил снег, остановился. Было холодно, ветер залетал под борта тщетно удерживаемые локтями, волосня выбилась из хвоста, мокрая прядь мазала по щеке. Жалкое зрелище. Думаю, я был счастлив и слегка дурной от свободы совершить любой выбор. Знал, что навсегда запомню эту секунду, тугую, рвущуюся под напором неизвестно откуда взявшейся значительности. Направо было здание естественных наук, прямо дорога упиралась в кладбище, налево - уходила в темную неизвестность. Выбор... * Без морали сегодня, ребята, без морали. Tags:** рефлексии (4 comments \| Leave a comment)
May 25th, 2009
02:27 am [Link]	(автор А.Х.Шень) Кандидат предъявляет бумаги об инженерном образовании. Кандидату предъявляется розетка, путём втыкания настольной лампы демонстрируется исправность. Предлагается встать двумя ногами на толстый резиновый коврик, взять в одну руку гвоздь, и воткнуть его в одну из дырок розетки по своему выбору. Либо изложить свои соображения, почему это делать небезопасно. Рядом лежит набор противоожоговых мазей и бинты. Существенная часть граждан начинают настойчиво предлагать изложить, почему это совершенно безопасно. Но встать и воткнуть отказываются. Один товарищ начал объяснять, что я не имею право давать такие тесты до заключения трудового договора... (через обсуждение здесь) Инженером я не был, а электриком был и экзамены по технике безопасности сдавал. Думаю моих приемщиков кодрашка бы хватила, если бы я для какой-нибудь ситуации пустился в рассуждения о сопротивлениях и т.п. ТБ, как известно, написана кровью, и если сказано, что не надо без нужды заниматься самопожертвованием, то за этим стоят жертвы и трагедии. За каждым несчастным случаем на нормальном производстве как раз и обнаруживается, что коврик, оказывается, был не из той резины, что лампа была не такая, как она со стороны выглядела и т.д. Утрировано это, конечно, но не принципиально. В целом же - нет практически ничего такого, что было бы непростительно не знать. И нет ничего такого, за незнание чего нельзя было бы считать невежей. It's that simple. Update: (по просьбе придирчивых читателей) кодрашка -> кондрашка, невежей -> невеждой. Опечаток в этом журнале хватает, исправлять их мне отчасти лень, отчасти не хочется по принципиальным причинам. Update2: Помимо опечаток есть, разумеется, и ошибки. (4 comments \| Leave a comment)
May 23rd, 2009
06:53 pm [Link]	Sic transit часть вторая С конца 80-х существует Pipes mailing list. Последние года полтора там, по-моему, не было ни одного сообщения, а еще за полтора года до этого промелькнуло от силы два-три. Вчера внезапно пришло письмо, напоминающее опции рассылки и пароль. Вероятно, обновили управляющую программу. Это подвигло кого-то из подписчиков откликнуться обычной для такого рода клубов нудятиной о себе. На него ответила еще пара человек, и вот уже второй день подряд идет поток писем с требованием об отписке. Учитывая, что есть люди, умеющие читать и отписавшиеся через страницу управления как об этом рассказывалось в самом первом сообщении (пятая строчка начиналась со слов If you ever want to unsubscribe), в скором времени рассылка прекратит свое существование вообще - останутся только недействующие или заброшенные адреса и пара-другая чудаков. Грустно. Когда-то это было неплохое место. Без откровений, но со своими интересностями. (Leave a comment)
02:31 pm [Link]	Рабочие будни Полдня насмарку из-за того, что где-то в глубине души считал, что разница между k и -k равна нулю или, на худой конец, k. Tags: кухня (7 comments \| Leave a comment)
May 18th, 2009
05:03 pm [Link]	комплекс идеального мужчины Пробираюсь через мп3 файлы со старого марининого компьютера. Вроде должно будить трогательные сентиментальные чувства - когда-то списки в плеерах у нас были практически идентичными. Ан, нет. В душе растет неприязнь к Парижу. Я так понимаю пройдет какое-то время и понесусь выливать все французское вино в лужу? (8 comments \| Leave a comment)
May 16th, 2009
09:11 pm [Link]	Ступор - это... Выбор между неинтересным и неважным. (Leave a comment)
May 9th, 2009
02:20 pm [Link]	О дне сегодняшнем Года с 93-94 у меня было сложилась традиция - в окрестности 9-го мая я много читал про войну. Сначала пополам на пополам - беллетристика и история. Постепенно художественная литература ушла, не только про войну и почти вообще любая, а история осталась - пару недель проводил, зарывшись в карты и книги. Никогда не праздновал. Не по "высшим" историко-политическим или еще каким мотивам, а просто потому, что это был не футбольный матч. Потому что так и не понимаю ничего. То ли это день великой радости, облегченного выдоха сотен миллионов людей, выдоха всего набравшегося в легкие за многие годы перехватываемого или затаиваемого дыхания, почти крика. То ли это день великого траура, размышлений о страшных несправедливостях и несчастиях. То ли это день великой тоски от того, что знаменуется убийство, предотвращающее другое убийство, от того, что ничему не научились - люди не перестали убивать друг друга, созидание не смогли полюбить, а разрушение - возненавидеть. Что забывать, а что помнить? В последние два года традиция прервалась. Специально к 9-му мая ничего не читается. Очень уж атмосфера стала спертой от повсеместных поз в стиле "Наши герои им наваляли! Мы - победители! Россия! О-ле!". Точно сборная по хоккею в Канаду прокатилась. Tags: рефлексии (Leave a comment)
May 5th, 2009
04:27 pm [Link]	изобретательское Все страдаем, не можем придумать хорошее (хотя бы и рабочее) название для масштаба длин, который характеризует переход от длинных к коротким неоднородностям в задаче о когерентном отклике в реалистичных квантовых ямах (там, кстати говоря, ошибка в рассуждении "интегрируя по узкой окрестности.. и т.д."). В PRB 58, 16186 ее отвратительно назвали длиной локализации. Отвратительно, потому что в сочетании со случайностью мгновенно вызывает ассоциации с андерсоновской локализацией, к которой она не имеет никакого отношения. Время от времени об этом приходится вести пространные разговоры и хотя бы за потраченное время авторам термина стоило бы выставить огроменный счет. Если, однако, отвлечься от Андерсона, то в названии "локализация" есть ненулевой смысл. Грубо говоря, если свободная частица локализована на таком масштабе, то ее энергия равна локальной флуктуации экситонной частоты. Т.е. кинетическая и потенциальная энергии частицы становятся равны. При локализации на меньших масштабах кинетическая энергия превалирует, на больших - потенциальная. Отсюда понятно каким образом происходит разделение на короткие и длинные неоднородности. Мотивы авторов ясны, но все равно называть это длиной локализации было нельзя. Как бы назвать? На данный момент в качестве нулевого приближения протолкнул полярную противоположность "extension length", но только чтобы не было локализации, в абсолютных величинах термин жуть какой неудачный. Variation length? Какая-нибудь bouncing length? Tags: кухня, наука, физика (1 comment \| Leave a comment)

[<< Previous 20 entries]

Customize

Advertisement